Title: C04, C05 et C06 - Algèbre linéaire

Q: Cours
Décrire complètement un espace vectoriel de matrices.
A: \(\bullet\) L'ensemble est l'ensemble de toutes les matrices à \(n\) lignes et \(m\) colonnes \(\mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})\).
\(\bullet\) La loi interne est l'addition coefficient par coefficient des matrices.
\(\bullet\) La loi externe consiste à multiplier tous les coefficients par un nombre réel fixé.

Q: Méthode
À quoi sert la définition générale d'espace vectoriel.
A: Elle ne sert plus à rien, elle n'est jamais demandée aux candidats. Elle nous a juste permis de construire les exemples fondamentaux d'espaces vectoriels et c'est la seule chose à retenir.

Q: Méthode
Donner deux méthodes qui permettent de montrer qu'un ensemble \(F\) est un sous-espace vectoriel.
A: \(\bullet\) On vérifie que l'ensemble \(F\) est non vide et stable par combinaison linéaire : si \(x,y\in F\) et si \(\lambda,\mu\) sont deux réels quelconques, alors on montre que \(\lambda x+\mu y\) est dans \(F\).
\(\bullet\) On parvient à écrire \(F\) sous forme de
\[\mathrm{Vect}(\cdots).\]

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
L'ensemble des polynômes de degré 2 est un sous-espace vectoriel de l'espace des polynômes.
A: Faux, il ne contient pas le polynôme nul (et n'est pas stable par addition : ajouter les deux polynômes de degré 2 \(X^2\) et \(-X^2+X\) donne un polynôme de degré 1).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
L'ensemble des polynômes de degré au plus 2 est un sous-espace vectoriel de l'espace des polynômes.
A: Vrai, c'est du cours, on vérifie facilement que c'est un ensemble stable par combinaisons linéaires.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Si \(u,v,w\) est une famille génératrice d'un espace vectoriel \(F\), alors \(u,v\) est aussi une famille génératrice.
A: Faux, on peut prendre par exemple \(F=\mathbb{R^2}\) et
\[u=(1,0),\hspace{0.3cm}v=(2,0),\hspace{0.3cm}w=(0,1).\]
On voit que \(u\) et \(v\) n'engendrent pas \(\mathbb{R^2}\) car ils sont liés mais \((u,v,w)\) engendre \(\mathbb{R}^2\).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Si \(u,v,w\) est une famille libre d'un espace vectoriel \(F\), alors \(u,v\) est aussi une famille libre.
A: Vrai

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
\[\mathrm{Vect}(u,v)=\mathrm{Vect}(u,-v)\]
A: Vrai, on ne change pas l'espace engendré quand on remplace un vecteur par une combinaison linéaire des autres.

Q: Mini exercice
Besoin de brouillon
Écrire les solutions du système
[$$]\left\lbrace
\begin{array}{ccc}
x-2y+z & = & 0\\2x+y+z & = & 0
\end{array}\right.
[/$$]
sous forme de Vect()
A: On trouve (par exemple)
[$$]\mathrm{Vect}\left(\matuntrois{-1/3}1{7}\right)[/$$]

Q: Méthode
À quelle condition une famille de un vecteur est-elle libre ?
A: Si le vecteur n'est pas nul

Q: Méthode
À quelle condition une famille de deux vecteurs est-elle libre ?
A: Si les vecteurs ne sont pas colinéaires (les coefficients de ces vecteurs ne sont pas proportionnels).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Si \(u\) et \(v\) ne sont pas colinéaires, que \(u\) et \(w\) ne sont pas colinéaires et que \(v\) et \(w\) ne sont pas colinéaires, alors la famille \(u,v,w\) est libre.
A: Faux
On peut prendre par exemple dans \(\mathbb{R}^2\)
\[u=(1,0)\hspace{0.3cm}v=(0,1)\hspace{0.3cm}w=(1,1).\]

Q: Mini exercice
Besoin de brouillon
Montrer que la famille
[$$]\left(\matuntrois 110, \matuntrois101,\matuntrois123\right)[/$$]
est une base de \(\mathbb{R}^3\).
A: [$]\alpha\matuntrois 110+\beta\matuntrois 101 +\gamma\matuntrois 123[/$]
est équivalent au système
[$$]\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
\alpha + \beta + \gamma & = & 0\\
\alpha + 2\gamma & = & 0\\
\beta + 3 \gamma & = & 0
\end{array}
\right.
[/$$]
dont on montre facilement qu'il a comme seule solution \(\left(0,0,0\right)\).

Q: Méthode
On se donne une famille de trois vecteurs \(u,v,w\) dans l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^3\). On veut montrer que cette famille est une base. Pourquoi peut-on se contenter de montrer que
\(\bullet\) Soit la famille est libre,
\(\bullet\) Soit la famille est génératrice ?
Quelle stratégie préférez-vous ?
A: C'est un point important du cours : 3 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 3 (ou \(n\) vecteurs dans un espace de dimension \(n\)) forment une famille libre si et seulement s' ils forment aussi une famille génératrice.
Montrer qu'une famille est libre est plus facile que de montrer qu'elle est génératrice : le système à résoudre est homogène.

Q: Méthode
Donner trois exemples d'applications linéaires sur des espaces vectoriels différents et deux exemples d'applications non linéaires (pour des raisons différentes).
A: Exemples d'applications linéaires :
\(\bullet\) Une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^2\) donnée par
\[f(x,y,z)=(x-2y+z,y-3z).\]
\(\bullet\) L'application identité sur l'espace des matrices carrées \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\)
\[f\left( \begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} a & b\\c & d\end{pmatrix}\]
\(\bullet\) L'application de dérivation sur les polynômes \(\mathbb{R}\left[X\right]\)
\[f(P)=P'\]
Exemples d'applications non linéaires :
\(\bullet\) Une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}\) qui n'envoie pas 0 sur 0
\[f(x,y,z)=2x+y+z+1.\]
\(\bullet\) Une application de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}\) dont l'image d'une somme de vecteurs n'est pas la somme des images.
\[f(x,y,z)=x^2+y+z.\]

Q: Mini exercice
Sans aucun calcul, déterminer le rang de la matrice ci-dessous. En déduire, toujours sans calcul, une base de son noyau.
\[ M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\0 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.\]
A: Le rang est la dimension de l'espace engendré par les colonnes de la matrice. Puisque les première et troisième colonnes sont proportionnelles, on en déduit que le rang est au plus 2. D'autre part, les première et deuxième colonnes ne sont pas colinéaires. Donc le rang est exactement 2.
Par le théorème du rang, on en déduit que le noyau est de dimension 1 (3-2), il est donc engendré par un vecteur non nul. En réutilisant le fait que les première et deuxième colonnes sont liées, on obtient que le vecteur
\[\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}\]
est une base du noyau.

Q: Mini exercice
Besoin de brouillon
Écrire la matrice de l'application linéaire de \(\mathbb{R}^3\) dans \(\mathbb{R}^3\) définie par
\[f(x,y,z)=(2x+y+z,-x-3y+z,x+y-z)\]
dans la base canonique. Puis dans la base
\[\left(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\right)\]
A: Dans la base canonique, la matrice de \(f\) est
[$$]
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1\\
-1 & -3 & 1\\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}.
[/$$]
Dans le seconde base, on trouve
[$$]
\begin{pmatrix}
3/2 & 1 & 3/2\\
0 & -3 & -2\\
3/2 & 0 & 1/2
\end{pmatrix}.
[/$$]

Q: Mini exercice
Trouver sans calcul un vecteur dans le noyau de la matrice
[$$]
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\2 & 4 & 6\\3 & 6 & -1
\end{pmatrix}
[/$$]
A: On constate que la deuxième colonne est égale à 2 fois la première, ce qui signifie que le vecteur
\[2e_1-e_2=\begin{pmatrix} 2\\-1\\0\end{pmatrix}\]
est dans le noyau de la matrice.

Q: Mini exercice
Soit \(f\) une application linéaire de \(\mathbb{R^4}\) dans \(\mathbb{R}^3\) de rang 2. Quelle est la dimension de son noyau.
A: En appliquant le théorème du rang, on a
\[4=\mathrm{dim}(\mathbb{R}^4)=\mathrm{rang}(f)+\mathrm{dim(ker}(f)).\]
Le noyau est donc de dimension 2.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Une matrice inversible est diagonalisable
A: Faux, il n'y a aucun lien entre inversibilité et diagonalisablilité.
On le voit par exemple avec la matrice
[$$]\matdeux 1101[/$$]
qui est bien inversible mais non diagonalisable.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Une matrice diagonalisable est inversible
A: Faux, il n'y a aucun lien entre inversibilité et diagonalisablilité.
On le voit par exemple avec la matrice
[$$]\matdeux 1000[/$$]
qui est bien diagonalisable (car diagonale) mais non inversible (le deuxième vecteur de la base canonique est dans le noyau).

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui a \(n\) valeurs propres différentes est diagonalisable.
A: Vrai, c'est un point du cours.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) qui a moins de \(n\) valeurs propres différentes n'est pas diagonalisable.
A: Faux, c'est la réciproque (erronée) d'une propriété du cours.
La matrice identité par exemple n'a qu'une seule valeur propre mais elle est bien diagonalisable (car diagonale).

Q: Méthode
À quoi sert un polynôme de matrice ?
A: Il donne les seuls candidats possibles pour les valeurs propres de la matrice. En effet, les valeurs propres de la matrice sont nécessairement parmi les racines du polynômes annulateur.

Q: Vrai ou faux (preuve ou contre exemple selon les cas)
Les racines d'un polynôme annulateur de matrice sont les valeurs propres de la matrice.
A: Faux, les valeurs propres sont parmi les racines du polynôme annulateur mais toutes les racines ne sont pas forcément valeurs propres.
Par exemple le polynôme \(P(X)=(X-1)(X-2)\) est annulateur de la matrice identité mais ses racines 1 et 2 ne sont pas toutes les deux valeurs propres de la matrice identité (seule 1 est effectivement valeur propre).

Q: Cours
Que faut-il modifier dans cette définition pour qu'elle soit correcte ?
On dit qu'un vecteur \(X\) est un vecteur propre pour la matrice \(A\) s'il existe un nombre réel \(\lambda\) tel que
\[AX=\lambda X.\]
A: On dit qu'un vecteur \(X\) est un vecteur propre pour la matrice \(A\) s'il est non nul et s'il existe un nombre réel \(\lambda\) tel que
\[AX=\lambda X.\]

Q: Cours
Comment faut-il modifier cette propriété pour qu'elle soit correcte ?
Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\). Alors
\[(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk A^kB^{n-k}.\]
A: Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) telles que AB=BA. Alors
\[(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk A^kB^{n-k}.\]

Q: Cours
Sous quel nom l'espace propre \(E_0(A)\) est-il mieux connu ?
A: C'est le noyau de la matrice \(A\).

Q: Cours
Expliquer pourquoi deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
La réciproque est fausse : donner un exemple de deux matrices qui ont les mêmes valeurs propres mais qui ne sont pas semblables.
A: Prenons donc \(A\) et \(B\) telles qu'il existe une matrice \(P\) inversible avec
\[A=P^{-1}BP.\]
Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors il existe \(x\neq 0\) tel que \(Ax=\lambda x\). On a alors
\[P^{-1}BPx=\lambda x\]
ou encore
\[BPx=\lambda Px\]
et on constate que \(\lambda\) est aussi valeur propre de \(B\) de vecteur propre \(Px\) qui est non nul car \(P\) est inversible.
Pour la réciproque, on peut prendre par exemple
[$$]A=\matdeux 1101\hspace{3mm}\mbox{et}\hspace{3mm}B=\matdeux 1001[/$$]
\(A\) et \(B\) ont les mêmes valeurs propres (une seule qui vaut 1) mais \(A\) et \(B\) ne sont pas semblables car deux matrices semblables sont soit toutes les deux diagonalisables, soit toutes les deux non diagonalisable. Ici \(B\) est diagonalisable mais \(A\) ne l'est pas.

Q: Mini exercice
Donner un exemple de matrice non diagonalisable.
A: La matrice
[$$]A=\matdeux 1101[/$$] n'est pas diagonalisable. En effet sa seule valeur propre est 1 et si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice \(I_2\). Mais la seule matrice semblable \(I_2\) est la matrice \(I_2\) elle-même. En effet, si \(A\) est semblable à \(I_2\), alors il existe \(P\) inversible telle que
\[A=P^{-1}I_2P=P^{-1}PI_2=I_2I_2=I_2\]
La deuxième égalité provient du fait que \(I_2\) commute avec toutes les matrices.

Q: Mini exercice
Donner un exemple de matrice diagonalisable mais non diagonale.
A: La matrice
[$$]A=\matdeux 1102[/$$]
est diagonalisable car c'est une matrice carrée de taille 2 qui a 2 valeurs propres distinctes.
Elle n'est pas diagonale.

Q: Mini exercice
Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de la matrice
[$$]A=\matdeux 0{-1}{-1}1[/$$]
A: On sait que \(A-\lambda I_2\) n'est pas inversible si et seulement si
\[\lambda(\lambda -1)-1=\lambda^2-\lambda-1=0.\]
On trouve donc comme valeurs propres
\[\frac{1-\sqrt{5}}{2}\hspace{3mm}\mbox{et}\hspace{3mm}\frac{1+\sqrt{5}}{2}.\]
Ensuite, l'espace propre pour la valeur propre \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) est
\[\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{pmatrix}\right)\]
L'espace propre pour la valeur propre \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) est
\[\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1\\ \frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{pmatrix}\right)\]

Q: Mini exercice
Pourquoi peut-on affirmer que 0 est valeur propre de la matrice
[$$]\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 2\end{pmatrix} ?[/$$]
A: Les deux colonnes sont proportionnelles donc la matrice est de rang 1.
Par le théorème du rang, on en déduit que le noyau est de dimension 1. Or le noyau est l'espace propre \(E_0\). Ainsi l'espace propre \(E_0\) n'est pas réduit au vecteur nul donc 0 est bien valeur propre.

Q: Mini exercice
On s'intéresse à la matrice
[$$]J=\mattrois 111111111[/$$]
et on dispose du programme Python suivant
import numpy as np
import numpy.linalg as alg
b=np.array([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]])
r3 = alg.matrix_rank(b-3*np.eye(3))
print(r3)
r2 = alg.matrix_rank(b)
print(r2)
qui retourne
2.
1.
Que peut-on conjecturer sur les valeurs propres de \(J\), la dimension des espaces propres et la diagonalisabilité ?
A: Le programme Python prétend donc que
\[J-3\mathrm{I}_2\]
est de rang 2 et que
\[J=J-0\mathrm{I}_2\]
est de rang 1. Par le théorème du rang, on peut donc conjecturer que
\[\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(J-3\mathrm{I}_3))=1\]
et
\[\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(J))=2.\]
Ceci signifie que 3 et 0 sont valeurs propres et que les espaces propres \(E_3\) et \(E_0\) sont respectivement de dimensions 1 et 2.
La somme des dimensions des espaces propres est égale à la taille de la matrice. On en déduit qu'elle est diagonalisable.
Attention, ce n'est qu'une conjecture : Python ne fait pas de calculs exacts.